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En mathématiques, une racine d'un polynôme P(X) est une valeur α telle que P(α) = 0. C'est donc une solution de l'équation polynomiale P(x) = 0 d'inconnue x, ou encore, un zéro de la fonction polynomiale associée. Par exemple, les racines de X² – X sont 0 et 1.

Un polynôme non nul à coefficients dans un certain corps peut n'avoir de racines que dans un corps « plus gros », et n'en a jamais plus que son degré. Par exemple X² – 2, qui est de degré 2 et à coefficients rationnels, n'a aucune racine rationnelle mais a deux racines dans ℝ (donc aussi dans ℂ). Le théorème de d'Alembert-Gauss indique que tout polynôme à coefficients complexes de degré n admet n racines complexes (non nécessairement distinctes).

La notion de « racine » se généralise, sous le nom de « zéro », à un polynôme en plusieurs indéterminées^[1].

Définitions |

On considère un polynôme P(X) à une indéterminée notée ici X, à coefficients dans un corps ou plus généralement un anneau commutatif A (les coefficients pouvant donc appartenir à un sous-anneau).

Définition |

Ainsi, le polynôme X² – 2, à coefficients dans ℚ (donc aussi dans ℝ ou ℂ), ne possède aucune racine dans ℚ mais en possède deux dans ℝ (√2 et –√2) donc aussi dans ℂ. En effet, si l'on substitue √2 ou –√2 à X dans le polynôme, on trouve bien 0.

Étymologie : Le terme de racine provient des traductions en latin de Robert de Chester et de Gérard de Crémone du terme gizr. Le mot gizr signifie « racine », il est traduit en latin par radix. Le terme gizr est utilisé par le mathématicien d'origine perse du VIII^e siècle Al-Khawarizmi, dans son traité Kitâb al-jabr wa al-muqâbala, qui traite pour la première fois de manière exhaustive, du calcul des racines réelles de l'équation du second degré^[3].

Définition alternative |

En effet, si P(X) = (X – α)Q(X) alors P(α) = 0 et réciproquement, si P(α) = 0 alors P(X) est égal à P(X) – P(α), combinaison linéaire de polynômes de la forme X^k – α^k, tous divisibles par X – α.

Dans l'exemple choisi, l'égalité :

X2−2=(X−2)(X−(−2)){displaystyle X^{2}-2=left(X-{sqrt {2}}right)left(X-left(-{sqrt {2}}right)right)}

est une autre manière de remarquer que √2 et –√2 sont bien les deux racines du polynôme.

Définitions connexes |

Le simple fait que le polynôme X – α soit unitaire permet — sans supposer A intègre — de définir les notions suivantes :

Le polynôme X² – 2 est séparable, c'est-à-dire qu'il n'a aucune racine multiple. Il est de plus scindé sur ℝ, au sens suivant :

P est alors non nul, et son coefficient dominant est le produit des coefficients dominants de ces polynômes du premier degré. Plus généralement, on dit qu'un polynôme non nul de L[X] est scindé sur L s'il est le produit d'une constante et d'un produit (éventuellement vide) de polynômes unitaires du premier degré. Une telle décomposition est alors unique : chaque terme constant de l'un de ces polynômes unitaires du premier degré est égal à l'opposé d'une racine de P dans L, et si cette racine est d'ordre m, ce facteur est répété m fois. Le nombre de ces facteurs est donc égal au degré de P.

Existence des racines |

Toute équation polynomiale réelle de degré impair admet au moins une solution réelle.

C'est une application du théorème des valeurs intermédiaires.

Soient K un corps commutatif et P un polynôme à une indéterminée et à coefficients dans K.

Une extension de K est un corps contenant K ; ainsi, ℝ et ℂ sont des extensions de ℚ.

Une question naturelle se pose, si L₁ et L₂ sont deux extensions de K sur lesquelles P est scindé. Les racines, vues comme éléments de L₁, sont-elles « équivalentes » aux racines vues comme éléments de L₂ ? Cette équivalence existe : il existe dans L₁ une « plus petite » sous-extension, appelée corps de décomposition de P, contenant toutes les racines de P, et de même dans L₂, et ces deux sous-extensions de K sont identiques. Dans l'exemple K = ℚ, P = X² – 2, ce corps de décomposition est l'ensemble des nombres de la forme a + b√2, où a et b sont des nombres rationnels. Cet ensemble s'identifie (par un isomorphisme non unique) à un unique sous-corps de ℝ et du corps ℚ des nombres algébriques. Ainsi, la paire de racines {√2, –√2} incluse dans ℝ peut être considérée comme identique à celle incluse dans ℚ.

Le corps L est tel que le polynôme P est scindé ; en revanche, un autre polynôme à coefficients dans K n'est pas nécessairement scindé sur L. A fortiori, un polynôme à coefficients dans L n'est pas non plus nécessairement scindé sur L. On dit qu'un corps L est algébriquement clos si tout polynôme à coefficients dans L est scindé sur L.

Le corps ℂ est algébriquement clos, résultat connu sous le nom de théorème de d'Alembert-Gauss. La clôture algébrique de ℝ est ℂ. Celle de ℚ est le sous-corps ℚ.

Critère différentiel pour la multiplicité d'une racine |

En particulier :

• une racine de P est multiple si et seulement si elle est aussi racine de P' ;


• si A est un corps de caractéristique 0 alors, pour que α soit une racine d'ordre r de P, il faut et il suffit que P(α), P'(α), P''(α), …, P^(r–1)(α) soient nuls et P^(r)(α) soit non nul.

Sur un corps de caractéristique p > 0, ce dernier critère n'est pas valide car le polynôme dérivé de X^p est nul.

Relations entre les coefficients et les racines |

Calcul des racines |

On peut utiliser la méthode de Muller pour calculer les racines d'un polynôme. On interpole le polynôme P par un polynôme de degré deux : a2x2+b2x+c2{displaystyle a_{2}x^{2}+b_{2}x+c_{2}} selon l'interpolation lagrangienne. On retrouve les coefficients en évaluant P en trois points (x0,x1,x2{displaystyle x_{0},x_{1},x_{2}}) :

• a2=P[x0,x1]−P[x1,x2]x0−x2=P[x0,x1,x2]{displaystyle a_{2}={frac {P[x_{0},x_{1}]-P[x_{1},x_{2}]}{x_{0}-x_{2}}}=P[x_{0},x_{1},x_{2}]}


• b2=P[x1,x2]−a2×(x1+x2){displaystyle b_{2}=P[x_{1},x_{2}]-a_{2}times (x_{1}+x_{2})}


• c2=P(x2)−a2×x22−b2×x2{displaystyle c_{2}=P(x_{2})-a_{2}times x_{2}^{2}-b_{2}times x_{2}}

avec : f[u,v]=f(u)−f(v)u−v.{displaystyle f[u,v]={frac {f(u)-f(v)}{u-v}}.}

Mais en utilisant ce polynôme d’approximation, le choix de la racine de ce polynôme est problématique. Müller eut alors l’idée d’utiliser le même polynôme, mais sous la forme : an(x−xn)2+bn(x−xn)+cn{displaystyle a_{n}(x-x_{n})^{2}+b_{n}(x-x_{n})+c_{n}} avec xn{displaystyle x_{n}} qui va tendre vers la racine. Particularité de cet algorithme : xn{displaystyle x_{n}} peut être un nombre complexe. Coefficients :

• an=P[xn−2,xn−1,xn]{displaystyle a_{n}=P[x_{n-2},x_{n-1},x_{n}]}


• bn=P[xn−1,xn]−an×(xn−1−xn){displaystyle b_{n}=P[x_{n-1},x_{n}]-a_{n}times (x_{n-1}-x_{n})}


• cn=P(xn){displaystyle c_{n}=P(x_{n})}

Cette méthode est autoconvergente : le calcul de la racine va s'affiner petit à petit. On peut donc commencer avec x0=−1{displaystyle x_{0}=-1}, x1=0{displaystyle x_{1}=0} et x2=1{displaystyle x_{2}=1} et n=2{displaystyle n=2}. Tant que le polynôme ne s'annule pas en xn{displaystyle x_{n}}, on passe à l'itération n+1{displaystyle n+1} suivante avec :

• 
  r=bn2−4ancn{displaystyle r={sqrt {b_{n}^{2}-4a_{n}c_{n}}}}, où bn2−4ancn{displaystyle b_{n}^{2}-4a_{n}c_{n}} peut être négatif ou complexe.
  
  
  
  • 
    d=−2cnbn−r{displaystyle d={frac {-2c_{n}}{b_{n}-r}}} si |bn+r|<|bn−r|{displaystyle |b_{n}+r|<|b_{n}-r|}
    
  
  
  • 
    d=−2cnbn+r{displaystyle d={frac {-2c_{n}}{b_{n}+r}}} sinon
  
  
  
  


• xn+1=xn+d.{displaystyle x_{n+1}=x_{n}+d.}

Finalement, le zéro est xn.{displaystyle x_{n}.}

Notes et références |

Voir aussi |

Articles connexes |

Lien externe |

Racines entières d'un polynôme à coefficients entiers sur gecif.net

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