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En mathématiques, la moyenne arithmétique^[1] d'une série de nombres réels est la somme des valeurs divisée par le nombre de valeurs. C'est ce qu'on appelle la moyenne en langage ordinaire.

Notation |

On note généralement la moyenne par le diacritique macron, caractère unicode u+0304, par exemple la moyenne des valeurs de x est notée x.

Sa formulation mathématique peut se faire comme suit :

x¯=x1+x2+…+xnn=1n∑i=1nxi.{displaystyle {bar {x}}={frac {x_{1}+x_{2}+ldots +x_{n}}{n}}={frac {1}{n}}sum _{i=1}^{n}{x_{i}}.}

Par exemple, dans une entreprise de trois employés ayant un salaire de 1 300, 1 700 et 3 000 euros, le salaire moyen est

1300+1700+30003=2000{displaystyle {frac {1300+1700+3000}{3}}=2000}

Pour une série de valeurs dont le nombre total d’occurrences est inconnu, mais dont les fréquences sont connues pour chaque valeur possible de la série, la formulation mathématique devient :

x¯=x1f1+x2f2+…+xnfn=∑i=1nxifi.{displaystyle {bar {x}}=x_{1}f_{1}+x_{2}f_{2}+ldots +x_{n}f_{n}=sum _{i=1}^{n}{x_{i}f_{i}}.}

Moyenne pondérée |

Parfois on souhaite attacher aux valeurs des poids différents (par exemple des coefficients pour les épreuves d'un concours). Dans ce cas à la série de valeurs
x₁, ..., x_n on associe une série de coefficients ou poids p₁, ..., p_n. La moyenne arithmétique des valeurs
x₁, ..., x_n pondérée par les poids p₁, ..., p_n est donnée par

x1p1+x2p2+…+xnpn=∑i=1nxipi.{displaystyle x_{1}p_{1}+x_{2}p_{2}+ldots +x_{n}p_{n}=sum _{i=1}^{n}{x_{i}p_{i}}.}

Moyenne empirique et lien avec l'espérance |

L'espérance mathématique d'une variable aléatoire discrète est la moyenne arithmétique de ses valeurs possibles pondérée par leur probabilité de réalisation.

Le terme moyenne empirique est utilisé en statistiques pour parler de la moyenne arithmétique d'un échantillon. La loi des grands nombres affirme que, sous des hypothèses
assez faibles, la moyenne empirique d'un échantillon tend vers l'espérance de la variable aléatoire dont il est issu.

Contraste avec la médiane |

La médiane d'une série de nombres réels est une valeur m qui permet de couper l'ensemble des valeurs en deux parties égales :
mettant d'un côté une moitié des valeurs, qui sont toutes inférieures ou égales à m et de l'autre côté l'autre moitié des valeurs, qui sont toutes supérieures ou égales à m.

La médiane est en général différente de la moyenne arithmétique, et moins affectée par les valeurs extrêmes. Par exemple considérons la série {1 ; 1 ; 2 ; 6}.
La médiane est 1,5 alors que la moyenne est 2,5.

Plus généralement considérons une série de valeurs réelles x₁, ..., x_n. Alors la médiane est la valeur m qui minimise la somme des valeurs absolues des écarts, i.e.

∑i=1n|xi−m|.{displaystyle sum _{i=1}^{n}{|x_{i}-m|}.}

alors que la moyenne arithmétique est la valeur m qui minimise la somme des carrés des écarts, i.e.

∑i=1n(xi−m)2.{displaystyle sum _{i=1}^{n}{(x_{i}-m)^{2}}.}

Note et référence |

Voir aussi |

Bibliographie |

 : document utilisé comme source pour la rédaction de cet article.

• Charles Antoine, Les Moyennes, Paris, PUF, coll. « Que sais-je ? » (n^o 3 383), 1998


• Charles Antoine, Moyenne selon une loi de composition, dans Mathématiques et sciences humaines, EHESS

Articles connexes |

• 
  Moyenne géométrique : fondée sur la moyenne arithmétique des logarithmes
  


• 
  Moyenne : présentation des autres moyennes


• 
  Statistique : la moyenne arithmétique est un estimateur sans biais de l'espérance


• Moyenne arithmético-géométrique


• Inégalité arithmético-géométrique

v · m Moyennes
Mathématiques	Arithmétique pondérée Géométrique pondérée Arithmético-géométrique Harmonique pondérée Quadratique Généralisée
Statistiques	Troquée ou réduite Mobile ou glissante
Relations entre moyennes	Inégalité de Muirhead Inégalité arithmético-géométrique

v · m Index du projet probabilités et statistiques

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