Lemme de Gauss (polynômes)
Pour les articles homonymes, voir Théorème de Gauss.En mathématiques, il existe un résultat appelé lemme de Gauss s'appliquant à la théorie des polynômes. Il énonce que si un polynôme P à coefficients entiers est factorisé en deux polynômes à coefficients rationnels non constants, ceux-ci sont proportionnels à des polynômes à coefficients entiers dont le produit est égal à P.
Il existe une généralisation de ce lemme, stipulant un résultat analogue si l'anneau est factoriel. Il permet de démontrer le caractère factoriel de l'ensemble des polynômes à coefficients dans un anneau factoriel, précisant le type d'arithmétique des polynômes disponible pour ce cas particulier. Une démonstration du cas général est présentée dans l'article « Anneau factoriel ».
Ce lemme apparaît dans les Disquisitiones arithmeticae de Gauss, à l'article 42, sous la forme d'une proposition contraposée[1].
Sommaire
1 Énoncé
2 Généralisation
3 Démonstration
4 Notes et références
Énoncé |
Théorème — Soient deux polynômes unitaires
P=Xm+am−1Xm−1+⋯+a1X+a0{displaystyle P=X^{m}+a_{m-1}X^{m-1}+dots +a_{1}X+a_{0}}
Si leurs coefficients a0,a1,a2,…,am−1,b0,b1,b2,…bn−1{displaystyle a_{0},a_{1},a_{2},ldots ,a_{m-1},b_{0},b_{1},b_{2},ldots b_{n-1}}
alors leur produit PQ{displaystyle PQ}
Généralisation |
Une version de ce lemme est valide dans n'importe quel anneau factoriel[2] (c'est-à-dire possédant une bonne théorie de la divisibilité) à la place de l'anneau des entiers[3].
Voici l'équivalent du lemme de Gauss dans ce cas :
Théorème — Soient A un anneau factoriel et K son corps de fractions, un polynôme non constant P à coefficients dans A est irréductible dans A[X] si et seulement s'il est primitif et irréductible dans K[X].
Pour le démontrer, on définit d'abord le concept de polynôme primitif de A[X] comme un polynôme dont tous les coefficients sont premiers entre eux. On considère alors K le corps des fractions de A, et on montre que tout polynôme P s'écrit comme le produit d'une constante et d'un polynôme primitif de A[X]. Cette constante est appelée contenu du polynôme et n'est définie qu'à un facteur inversible de A près. Le contenu du polynôme P est en fait le plus grand dénominateur commun dans l'anneau A des coefficients de P. On démontre alors, dans l'article détaillé, le théorème suivant, qui exprime la multiplicativité du contenu :
Théorème — Soient A un anneau factoriel. Soient P et Q deux polynômes à une variable à coefficients dans A. Alors :
cont(PQ)=cont(P)cont(Q){displaystyle operatorname {cont} (PQ)=operatorname {cont} (P)operatorname {cont} (Q)}
.Un corollaire de ce lemme de Gauss est que pour tout anneau factoriel A, l'anneau des polynômes en plusieurs indéterminées A[X1,X2,...,Xn]{displaystyle A[X_{1},X_{2},...,X_{n}]}![A[X_{1},X_{2},...,X_{n}]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b208a57796b788a7324eed55e1c9c8d6e7fdf0f9)
Démonstration |
Quand l'anneau A est celui des entiers, le contenu est choisi toujours positif. Cette convention est toujours possible à remplir, quitte à multiplier le polynôme et le contenu par -1.
Notons maintenant f et g les deux polynômes unitaires de l'énoncé. Les contenus sont donc tous deux inférieurs à 1, et l'un des deux est même strictement inférieur à 1, puisque l'un des polynômes n'est pas à coefficients entiers. Le contenu du produit f.g, qui est égal au produit des contenus, est donc strictement inférieur à 1, ce qui prouve que f.g n'est pas à coefficients entiers.
Notes et références |
Cité d'après la traduction française faite par Poullet-Delisle de 1807 (le traducteur utilise le mot « fonctions » à la place de « polynômes »).
Ou même seulement intègre et à PGCD.
Voir Serge Lang, Algèbre [détail des éditions], V, §6 (éd. ang. p. 126-128).
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