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En algèbre linéaire, la matrice compagnon du polynôme unitaire

p(X)=c0+c1X+⋯+cn−1Xn−1+Xn{displaystyle p(X)=c_{0}+c_{1}X+dots +c_{n-1}X^{n-1}+X^{n},}

est la matrice carrée suivante^[1],[2],[3] :

C(p)=(00…0−c010…0−c101…0−c2⋮⋮⋮⋮⋮00…1−cn−1),{displaystyle C(p)={begin{pmatrix}0&0&dots &0&-c_{0}\1&0&dots &0&-c_{1}\0&1&dots &0&-c_{2}\vdots &vdots &vdots &vdots &vdots \0&0&dots &1&-c_{n-1}\end{pmatrix}},}

mais il existe d'autres conventions :

• la matrice transposée de celle ci-dessus^[4],[5] ;


• une variante de cette transposée : la matrice^[6],[7]
  

(−cn−1−cn−2…−c1−c010…0001…00⋮⋮⋮⋮⋮00…10).{displaystyle {begin{pmatrix}-c_{n-1}&-c_{n-2}&dots &-c_{1}&-c_{0}\1&0&dots &0&0\0&1&dots &0&0\vdots &vdots &vdots &vdots &vdots \0&0&dots &1&0\end{pmatrix}}.}

Le polynôme caractéristique ainsi que le polynôme minimal de C(p) sont égaux à p (ou (–1)ⁿp selon la convention choisie pour le polynôme caractéristique) ; en ce sens, la matrice C(p) est la « compagne » du polynôme p.

Si le polynôme p possède n racines distinctes λ₁, …, λ_n (les valeurs propres de C(p)), alors C(p) est diagonalisable de la façon suivante :

VC(p)V−1=diag(λ1,…,λn){displaystyle VC(p)V^{-1}={mbox{diag}}(lambda _{1},dots ,lambda _{n}),}

où V est la matrice de Vandermonde associée à λ₁, …, λ_n (réciproquement, la matrice compagnon n'est diagonalisable que dans ce cas, où l'on dit que p est un polynôme scindé à racines simples^{[réf. souhaitée]}).

Si A est une matrice d'ordre n dont les coefficients appartiennent à un corps commutatif K, alors les propositions suivantes sont équivalentes :

• 
  A est semblable à une matrice compagnon à coefficients dans K ;


• le polynôme caractéristique de A est le polynôme minimal de A ;


• il existe un vecteur v dans Kⁿ tel que (v, Av, A²v, …, A^n-1v) soit une base de Kⁿ.

Toutes les matrices carrées ne sont pas semblables à une matrice compagnon mais toute matrice est semblable à une matrice composée de blocs de matrices compagnons. De plus, ces matrices compagnons peuvent être choisies de telle sorte que le polynôme caractéristique de chacune divise celui de la suivante ; ils sont alors déterminés de façon unique par A. C'est la forme canonique rationnelle de A.

Notes et références |

Voir aussi |

• Décomposition de Frobenius


• Suite récurrente linéaire

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