Matrice compagnon
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Pour les articles homonymes, voir Matrice et Compagnon.En algèbre linéaire, la matrice compagnon du polynôme unitaire
- p(X)=c0+c1X+⋯+cn−1Xn−1+Xn{displaystyle p(X)=c_{0}+c_{1}X+dots +c_{n-1}X^{n-1}+X^{n},}
est la matrice carrée suivante[1],[2],[3] :
- C(p)=(00…0−c010…0−c101…0−c2⋮⋮⋮⋮⋮00…1−cn−1),{displaystyle C(p)={begin{pmatrix}0&0&dots &0&-c_{0}\1&0&dots &0&-c_{1}\0&1&dots &0&-c_{2}\vdots &vdots &vdots &vdots &vdots \0&0&dots &1&-c_{n-1}\end{pmatrix}},}
mais il existe d'autres conventions :
- la matrice transposée de celle ci-dessus[4],[5] ;
- une variante de cette transposée : la matrice[6],[7]
- (−cn−1−cn−2…−c1−c010…0001…00⋮⋮⋮⋮⋮00…10).{displaystyle {begin{pmatrix}-c_{n-1}&-c_{n-2}&dots &-c_{1}&-c_{0}\1&0&dots &0&0\0&1&dots &0&0\vdots &vdots &vdots &vdots &vdots \0&0&dots &1&0\end{pmatrix}}.}
Le polynôme caractéristique ainsi que le polynôme minimal de C(p) sont égaux à p (ou (–1)np selon la convention choisie pour le polynôme caractéristique) ; en ce sens, la matrice C(p) est la « compagne » du polynôme p.
Si le polynôme p possède n racines distinctes λ1, …, λn (les valeurs propres de C(p)), alors C(p) est diagonalisable de la façon suivante :
- VC(p)V−1=diag(λ1,…,λn){displaystyle VC(p)V^{-1}={mbox{diag}}(lambda _{1},dots ,lambda _{n}),}
où V est la matrice de Vandermonde associée à λ1, …, λn (réciproquement, la matrice compagnon n'est diagonalisable que dans ce cas, où l'on dit que p est un polynôme scindé à racines simples[réf. souhaitée]).
Si A est une matrice d'ordre n dont les coefficients appartiennent à un corps commutatif K, alors les propositions suivantes sont équivalentes :
A est semblable à une matrice compagnon à coefficients dans K ;- le polynôme caractéristique de A est le polynôme minimal de A ;
- il existe un vecteur v dans Kn tel que (v, Av, A2v, …, An-1v) soit une base de Kn.
Toutes les matrices carrées ne sont pas semblables à une matrice compagnon mais toute matrice est semblable à une matrice composée de blocs de matrices compagnons. De plus, ces matrices compagnons peuvent être choisies de telle sorte que le polynôme caractéristique de chacune divise celui de la suivante ; ils sont alors déterminés de façon unique par A. C'est la forme canonique rationnelle de A.
Notes et références |
Saunders Mac Lane et Garrett Birkhoff, Algèbre [détail des éditions], vol. 1, p. 365.
Aviva Szpirglas, Algèbre L3 : Cours complet avec 400 tests et exercices corrigés [détail de l’édition], § 11.102.
Daniel Guinin et Bernard Joppin, Algèbre et géométrie MP, Éditions Bréal, 2004 (ISBN 978-2-7495-0388-2), p. 186.
David C. Lay, Algèbre linéaire : Théorie, exercices et applications, De Boeck, 2004 (ISBN 978-2-8041-4408-1), p. 372.
Dany-Jack Mercier, Exercices pour le CAPES mathématiques (externe et interne) et l'agrégation interne, vol. 1, Publibook, 2005 (ISBN 978-2-7483-0995-9), p. 103.
Alfio Quarteroni, Riccardo Sacco et Fausto Saleri, Méthodes numériques : algorithmes, analyse et applications, Springer, 2007 (ISBN 978-88-470-0495-5), p. 207.
Jacques Rappaz et Marco Picasso, Introduction à l'analyse numérique, PPUR, 1998 (ISBN 978-2-88074-363-5), p. 106.
Voir aussi |
- Décomposition de Frobenius
- Suite récurrente linéaire
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