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Ne doit pas être confondu avec Facteur de compressibilité.

Compressibilité isotherme

La compressibilité quantifie l'aptitude d'un corps à se contracter sous l'effet de la pression.

Données clés

Unités SI	Pa-1
Dimension	M{displaystyle ,}-1·L·T{displaystyle ,}2
Nature	Grandeur scalaire intensive
Symbole usuel	χX{displaystyle chi _{X}}, κX{displaystyle kappa _{X}}, à X{displaystyle X} constant
Lien à d'autres grandeurs	χX=−1V(∂V∂P)X{displaystyle chi _{X}=-{1 over V}left({partial V over partial P}right)_{X}}

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La compressibilité est une caractéristique d'un corps quantifiant sa variation relative de volume sous l'effet d'une pression appliquée :

χ=−1VdVdP{displaystyle chi =-{1 over V}{mathrm {d} V over mathrm {d} P}}

où V{displaystyle V} est le volume du corps et P{displaystyle P} la pression appliquée. La compressibilité χ{displaystyle chi } est une grandeur intensive homogène avec l'inverse d'une pression, elle s'exprime en Pa⁻¹ (Pa étant le pascal).

Mais cette définition ne prend pas en compte la thermodynamique : sous l'effet d'une compression, les corps ont tendance à s'échauffer. On définit donc une compressibilité isotherme, pour un corps restant à température T{displaystyle T} constante, par la relation :

χT=−1V(∂V∂P)T{displaystyle chi _{T}=-{1 over V}left({partial V over partial P}right)_{T}}

le T{displaystyle T} en indice de la dérivée indiquant que la dérivée partielle est prise à température constante. Le coefficient de compressibilité isotherme ainsi défini est un coefficient thermoélastique. On définit également le coefficient de compressibilité isentropique, pour un corps restant à entropie S{displaystyle S} constante, par la relation :

χS=−1V(∂V∂P)S{displaystyle chi _{S}=-{frac {1}{V}}left({frac {partial V}{partial P}}right)_{S}}

Les deux coefficients ainsi définis sont reliés aux capacités thermiques du corps par la relation de Reech. La compressibilité des gaz est très élevée, elle est faible pour les liquides et très faible pour les solides usuels. La compressibilité est presque toujours positive, le volume d'un corps diminuant le plus souvent lorsque l'on augmente la pression (il existe de rares contre-exemples).

Définitions |

Coefficient de compressibilité isotherme |

Le coefficient de compressibilité isotherme, que l'on note le plus souvent χT{displaystyle chi _{T}} (le Green Book de l'UICPA, page 56, préconise la notation κT{displaystyle kappa _{T}}), est défini par la relation :

χT=−1V(∂V∂P)T{displaystyle chi _{T}=-{1 over V}left({partial V over partial P}right)_{T}}

ou encore, en fonction de la masse volumique :

χT=1ρ(∂ρ∂P)T{displaystyle chi _{T}={1 over rho }left({partial rho over partial P}right)_{T}}

où :

• 
  P{displaystyle P} est la pression,


• 
  T{displaystyle T} est la température,


• 
  V{displaystyle V} est le volume,


• 
  ρ{displaystyle rho } est la masse volumique.

Il entre dans la forme différentielle du volume d'un mélange :

dV=(∂V∂P)T,ndP+(∂V∂T)P,ndT+∑i=1N(∂V∂ni)P,T,nj≠idni{displaystyle mathrm {d} V=left({partial V over partial P}right)_{T,n},mathrm {d} P+left({partial V over partial T}right)_{P,n},mathrm {d} T+sum _{i=1}^{N}left({partial V over partial n_{i}}right)_{P,T,n_{jneq i}},mathrm {d} n_{i}}

dV=−χTVdP+αVdT+∑i=1NV¯idni{displaystyle mathrm {d} V=-chi _{T}V,mathrm {d} P+alpha V,mathrm {d} T+sum _{i=1}^{N}{bar {V}}_{i},mathrm {d} n_{i}}

où :

• 
  α=1V(∂V∂T)P,n{displaystyle alpha ={1 over V}left({partial V over partial T}right)_{P,n}} est le coefficient de dilatation isobare,


• 
  ni{displaystyle n_{i}} est la quantité ou nombre de moles du composant i{displaystyle i},


• 
  V¯i=(∂V∂ni)P,T,nj≠i{displaystyle {bar {V}}_{i}=left({partial V over partial n_{i}}right)_{P,T,n_{jneq i}}} est le volume molaire partiel du composant i{displaystyle i}.

Si les quantités de matière sont constantes on a :

dV=−χTVdP+αVdT{displaystyle mathrm {d} V=-chi _{T}V,mathrm {d} P+alpha V,mathrm {d} T}

Le coefficient de compressibilité isotherme est égal à l'inverse du module d'élasticité isostatique du milieu, généralement noté K{displaystyle K}, aussi appelé module d'incompressibilité :

K=1χT=−V(∂P∂V)T{displaystyle K={1 over chi _{T}}=-Vleft({partial P over partial V}right)_{T}}

Le coefficient de compressibilité isotherme est également lié au coefficient de compression isochore β=1P(∂P∂T)V{displaystyle beta ={1 over P}left({partial P over partial T}right)_{V}} par la relation :

α=PβχT{displaystyle alpha =Pbeta chi _{T}}

Il entre aussi dans la relation de Mayer :

CP−CV=TVχT(Pβ)2{displaystyle C_{P}-C_{V}=TVchi _{T}left(Pbeta right)^{2}}

avec :

• 
  CP{displaystyle C_{P}} la capacité thermique isobare,


• 
  CV{displaystyle C_{V}} la capacité thermique isochore.

Coefficient de compressibilité isentropique |

Le coefficient de compressibilité isentropique, que l'on note le plus souvent χS{displaystyle chi _{S}} (le Green Book de l'UICPA, p. 56, préconise la notation κS{displaystyle kappa _{S}}), est défini par la relation :

χS=−1V(∂V∂P)S{displaystyle chi _{S}=-{frac {1}{V}}left({frac {partial V}{partial P}}right)_{S}}

Il entre dans la forme différentielle du volume d'un mélange à composition constante :

dV=(∂V∂P)SdP+(∂V∂S)PdS{displaystyle mathrm {d} V=left({partial V over partial P}right)_{S},mathrm {d} P+left({partial V over partial S}right)_{P},mathrm {d} S}

dV=−VχSdP+TλdS{displaystyle mathrm {d} V=-Vchi _{S},mathrm {d} P+{T over lambda },mathrm {d} S}

avec :

• 
  P{displaystyle P} la pression,


• 
  S{displaystyle S} l'entropie,


• 
  T{displaystyle T} la température,


• 
  V{displaystyle V} le volume,


• 
  λ=T(∂S∂V)P,n{displaystyle lambda =Tleft({partial S over partial V}right)_{P,n}} l'un des coefficients calorimétriques (sans nom).

Ce coefficient entre dans l'expression de la vitesse du son c{displaystyle c} dans un fluide :

c=(∂P∂ρ)S=1χSρ{displaystyle c={sqrt {left({frac {partial P}{partial rho }}right)_{S}}}={sqrt {frac {1}{chi _{S},rho }}}}

avec ρ{displaystyle rho } la masse volumique du fluide.

Relation de Reech |

La relation de Reech relie le rapport des capacités thermiques au rapport des coefficients de compressibilité :

γ=CPCV=χTχS{displaystyle gamma ={frac {C_{P}}{C_{V}}}={frac {chi _{T}}{chi _{S}}}}

avec :

• 
  γ{displaystyle gamma } le coefficient de Laplace, utilisé dans la loi de Laplace,


• 
  CP{displaystyle C_{P}} la capacité thermique isobare,


• 
  CV{displaystyle C_{V}} la capacité thermique isochore.

Cas d'un gaz parfait |

Dans le cas d'un gaz parfait, on applique l'équation :

PV=nRT{displaystyle PV=nRT}

avec :

• 
  P{displaystyle P} la pression,


• 
  V{displaystyle V} le volume,


• 
  n{displaystyle n} la quantité de matière (en mole),


• 
  R{displaystyle R} la constante universelle des gaz parfaits,


• 
  T{displaystyle T} la température du gaz.

En fixant T{displaystyle T} et n{displaystyle n}, PV{displaystyle PV} devient constant. En différentiant cette constante comme un produit, on obtient :

PdV+VdP=0{displaystyle P,mathrm {d} V+V,mathrm {d} P=0}

dV=−VPdP{displaystyle mathrm {d} V=-{V over P},mathrm {d} P}

soit encore :

(∂V∂P)T=−VP{displaystyle left({partial V over partial P}right)_{T}=-{V over P}}

et enfin :

χT=−1V(∂V∂P)T=1P{displaystyle chi _{T}=-{1 over V}left({partial V over partial P}right)_{T}={1 over P}}

Stabilité thermodynamique |

Soit un système thermodynamique soumis à un travail d'une pression extérieure Pext{displaystyle P_{ext}}. La variation de l'énergie interne U{displaystyle U} du système vaut :

dU=δW+δQ=−PextdV+δQ{displaystyle mathrm {d} U=delta W+delta Q=-P_{ext},mathrm {d} V+delta Q}

dU=−PextdV+TdS−[TdS−δQ]{displaystyle mathrm {d} U=-P_{ext},mathrm {d} V+T,mathrm {d} S-left[T,mathrm {d} S-delta Qright]}

dU+PextdV−TdS=−[TdS−δQ]{displaystyle mathrm {d} U+P_{ext},mathrm {d} V-T,mathrm {d} S=-left[T,mathrm {d} S-delta Qright]}

À température constante, on a, en introduisant l'énergie libre F=U−TS{displaystyle F=U-TS} :

d[U−TS]+PextdV=−[TdS−δQ]{displaystyle mathrm {d} left[U-TSright]+P_{ext},mathrm {d} V=-left[T,mathrm {d} S-delta Qright]}

dF+PextdV=−[TdS−δQ]{displaystyle mathrm {d} F+P_{ext},mathrm {d} V=-left[T,mathrm {d} S-delta Qright]}

Si la pression extérieure est constante, on a encore :

d[F+PextV]=−[TdS−δQ]{displaystyle mathrm {d} left[F+P_{ext}Vright]=-left[T,mathrm {d} S-delta Qright]}

Le deuxième principe de la thermodynamique implique que le terme TdS−δQ{displaystyle T,mathrm {d} S-delta Q}, ou chaleur non compensée de Clausius, ne peut être que positif ou nul et par conséquent :

d[F+PextV]≤0{displaystyle mathrm {d} left[F+P_{ext}Vright]leq 0}

À température constante, lorsque le corps est soumis à une pression extérieure constante Pext{displaystyle P_{ext}}, la fonction F+PextV{displaystyle F+P_{ext}V} ne peut donc que décroitre. Ceci implique qu'à l'équilibre cette fonction atteint un minimum. La fonction F{displaystyle F} ayant pour variables naturelles le volume et la température, la fonction F+PextV{displaystyle F+P_{ext}V}, à température constante, a pour seule variable naturelle V{displaystyle V} d'où, à l'équilibre où cette fonction atteint un minimum :

(∂F+PextV∂V)T=0{displaystyle left({partial F+P_{ext}V over partial V}right)_{T}=0}

(∂2F+PextV∂V2)T>0{displaystyle left({partial ^{2}F+P_{ext}V over partial V^{2}}right)_{T}>0}

Pour que cet équilibre soit stable, la dérivée seconde doit être positive strictement. Si la dérivée seconde est nulle, l'équilibre est métastable, mathématiquement il s'agit d'un point d'inflexion de la fonction ; si elle est négative, l'équilibre est instable, il s'agit d'un maximum de la fonction.

Si l'on considère la dérivée partielle de l'énergie libre :

(∂F∂V)T=−P{displaystyle left({partial F over partial V}right)_{T}=-P}

on a à l'équilibre stable :

(∂F+PextV∂V)T=−P+Pext=0{displaystyle left({partial F+P_{ext}V over partial V}right)_{T}=-P+P_{ext}=0}

(∂2F+PextV∂V2)T=−(∂P∂V)T>0{displaystyle left({partial ^{2}F+P_{ext}V over partial V^{2}}right)_{T}=-left({partial P over partial V}right)_{T}>0}

On en déduit qu'un corps à l'équilibre ne peut être stable qu'à la pression P=Pext{displaystyle P=P_{ext}} et que si sa compressibilité est positive strictement :

χT=−1V(∂V∂P)T>0{displaystyle chi _{T}=-{1 over V}left({partial V over partial P}right)_{T}>0}

Autrement dit un corps ne peut être stable que si son volume diminue lorsque la pression augmente.

La thermodynamique n'interdit pas que le volume d'un corps puisse augmenter avec une augmentation de pression, et donc que sa compressibilité soit négative. Toutefois un tel corps est instable et par conséquent difficilement observable. Des cas de compressibilité négative ont été observés sur des mousses métalliques et des cristaux composés d'eau et de méthanol^[1],[2],[3].

Voir aussi |

Références |

Bibliographie |

• 
  Thermodynamique des matériaux (TM Volume 5) - De l'élaboration des matériaux à la genèse des microstructures, Gérard Lesoult, Presses Polytechniques Universitaires Romandes (PPUR) - Collection : Traité des Matériaux, 2010, (ISBN 978-2-88-074-690-2), paragraphes 3.6.8 et 5.8.5

Articles connexes |

• Coefficients calorimétriques et thermoélastiques


• Dynamique des fluides


• Écoulement incompressible


• Fluide incompressible


• Relation de Reech

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