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En algèbre, la caractéristique d'un anneau (unitaire) A est par définition l'ordre pour la loi additive de l'élément neutre de la loi multiplicative si cet ordre est fini ; si cet ordre est infini, la caractéristique de l'anneau est par définition zéro.

On note, pour un anneau unitaire (A, +, ×), 0_A l'élément neutre de « + » et 1_A celui de « × ».

La caractéristique d'un anneau A est donc le plus petit entier n > 0 tel que

 n.1A = 1A+1A+⋯+1A⏟ntermes = 0A {displaystyle { n.1_{A}~=~underbrace {1_{A}+1_{A}+cdots +1_{A}} _{n;{text{termes}}}~=~0_{A}}~}

si un tel entier existe. Dans le cas contraire (autrement dit si 1_A est d'ordre infini), la caractéristique est nulle.

Remarque. La présente définition est conforme à des ouvrages publiés au XXI^e siècle^[1]. Bourbaki^[2] dit explicitement ne définir la caractéristique d'un anneau que si cet anneau contient un corps. Lang^[3] considère l'idéal de Z formé par les n tels que n.1_A = 0 ; si cet idéal est premier, c'est-à-dire de la forme aZ où a est zéro ou un nombre premier, il définit la caractéristique de A comme étant le nombre a. Il ne la définit pas dans le cas contraire.

L'homomorphisme de Z dans A |

Il existe un unique morphisme d'anneaux unitaires f{displaystyle f} de Z{displaystyle mathbb {Z} } dans A (Z{displaystyle mathbb {Z} } est en effet un objet initial de la catégorie des anneaux). Par définition, si n est un entier strictement positif, on a :

f(n)=1A+⋯+1A{displaystyle f(n)=1_{A}+cdots +1_{A},}

où 1_A est répété n fois.
Comme Z{displaystyle mathbb {Z} } est un anneau euclidien, le noyau de f{displaystyle f} est un idéal principal et, par définition, la caractéristique de A est son générateur positif. Plus explicitement, c'est l'unique entier naturel c tel que le noyau de f{displaystyle f} soit l'idéal cZ{displaystyle cmathbb {Z} }.

Propriétés sur les anneaux |

• La caractéristique d'un anneau A est l'unique entier c positif ou nul tel que Z/cZ{displaystyle mathbb {Z} /cmathbb {Z} } soit un sous-anneau unitaire de A.

Ceci résulte de la définition ci-dessus et du théorème de factorisation.
On en déduit en particulier :

• Si B est un sous-anneau unitaire de A, alors A et B ont même caractéristique.


• Les anneaux de caractéristique nulle sont ceux dont Z{displaystyle mathbb {Z} } est un sous-anneau unitaire. Ils sont donc infinis.

C'est le cas du corps C{displaystyle mathbb {C} } des nombres complexes et de tous ses sous-anneaux unitaires, comme le corps R{displaystyle mathbb {R} } des nombres réels ou le corps Q{displaystyle mathbb {Q} } des nombres rationnels.

• Tout anneau totalement ordonné est de caractéristique nulle.

En effet, l'homomorphisme Z→A{displaystyle mathbb {Z} to A} est croissant. Tout entier strictement positif est envoyé sur un élément strictement positif de l'anneau, a fortiori différent de 0.

C'est par exemple le cas de R{displaystyle mathbb {R} } (et ses sous-anneaux unitaires).

• Le seul anneau dont la caractéristique vaut 1 est l'anneau nul.


• La caractéristique d'un anneau intègre est soit nulle, soit un nombre premier.

En effet, si Z/cZ{displaystyle mathbb {Z} /cmathbb {Z} } est un sous-anneau unitaire d'un anneau intègre alors il est lui-même intègre, donc c est nul ou premier.

• Pour tout morphisme d'anneaux unitaires g : A → B, la caractéristique de B divise celle de A.

En effet, l'homomorphisme d'anneaux unitaires Z→B{displaystyle mathbb {Z} to B} est l'homomorphisme composé g ∘ f. Si p et q sont les caractéristiques respectives de A et de B, le noyau de g ∘ f est donc qZ{displaystyle qmathbb {Z} }, or g(f (p)) = g(0_A) = 0_B, si bien que
qZ{displaystyle qmathbb {Z} } contient p, autrement dit q divise p.

• Si A est un anneau commutatif, et si sa caractéristique est un nombre premier p, alors pour tous éléments x, y dans A, on a (x + y)^p = x^p + y^p. L'application qui à x associe x^p est un endomorphisme d'anneau appelé endomorphisme de Frobenius.

Le résultat découle immédiatement de la formule du binôme de Newton et de ce que p divise les coefficients binomiaux apparaissant dans le développement.

Propriétés sur les corps |

Comme pour tout anneau intègre, la caractéristique d'un corps K est soit 0, soit un nombre premier p. De plus, dans le second cas, comme pour tout anneau de caractéristique p non nulle, K contient une copie de Z/pZ{displaystyle mathbb {Z} /pmathbb {Z} } qui (puisqu'ici p est premier) est un corps : c'est l'unique corps fini F_p à p éléments.

• Tout corps de caractéristique nulle contient une copie de Q{displaystyle mathbb {Q} }.

En effet, un tel corps K contient déjà (comme tout anneau de caractéristique nulle) une copie de Z{displaystyle mathbb {Z} }. Comme K est un corps, il contient donc le corps des fractions de Z{displaystyle mathbb {Z} }, à savoir le corps Q{displaystyle mathbb {Q} } des rationnels. Tout corps possède donc un sous-corps minimal, son corps premier, isomorphe (selon sa caractéristique) à un corps fini F_p ou au corps Q{displaystyle mathbb {Q} }.

• Tout corps fini a pour caractéristique un nombre premier, et pour cardinal une puissance de ce nombre.

Si K est un corps fini il est, comme tout anneau fini, de caractéristique non nulle. Par ce qui précède, sa caractéristique est donc un nombre premier p et K contient une copie du corps F_p. De fait, K est un espace vectoriel sur F_p. Donc son cardinal est p à la puissance sa dimension (laquelle, de ce fait, est nécessairement finie, autrement dit K est une extension finie de F_p).

• 
  Pour tout nombre premier p, il existe des corps infinis de caractéristique p  :

par exemple le corps des fractions rationnelles sur F_p ou la clôture algébrique de F_p.

Notes et références |

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